Tiered differentiation in the study of the algebra course topic "Abridged multiplication formulas" using block-modular teaching technology

Введение

Одной из ключевых проблем современного школьного образования остаётся проблема учёта индивидуальных особенностей учащихся в условиях классно-урочной системы. Применение единых методов и темпа преподавания для всех без исключения учащихся неизбежно ведёт к тому, что часть из них испытывает серьёзные трудности в освоении программного материала, тогда как другая часть оказывается недостаточно загруженной и теряет интерес к предмету [1].

Тема «Формулы сокращённого умножения» является одновременно содержательным итогом изучения многочленов и фундаментом для последующего освоения разложения на множители, тождественных преобразований, решения уравнений и неравенств высших степеней. Недостаточное усвоение данной темы в седьмом классе влечёт за собой системные трудности на протяжении всего дальнейшего курса алгебры [2].

В связи с этим возникает необходимость поиска такой организации учебного процесса, которая одновременно обеспечивала бы достижение обязательного уровня подготовки всеми учащимися и создавала условия для математического развития каждого ученика в меру его возможностей и способностей. Одним из наиболее перспективных подходов к решению данной задачи представляется сочетание уровневой дифференциации и блочно-модульной технологии обучения.

Цель настоящей статьи состоит в разработке и теоретическом обосновании модели реализации уровневой дифференциации при изучении темы «Формулы сокращённого умножения» в рамках блочно-модульной технологии обучения алгебре в седьмом классе.

Обзор отечественной и зарубежной литературы

Понятие дифференциации обучения является многоаспектным и трактуется в педагогической литературе по-разному. В широком смысле под дифференциацией понимается такая организация учебного процесса, при которой учитываются индивидуально-типологические особенности учащихся. В узком педагогическом смысле дифференциация – это разделение учащихся на группы по каким-либо признакам для организации раздельного обучения [3].

Различают внешнюю и внутреннюю дифференциацию. Внешняя дифференциация предполагает создание специальных классов или школ для учащихся с определёнными характеристиками (углублённые классы, профильные классы, классы выравнивания). Внутренняя дифференциация, или внутриклассная, реализуется в рамках обычного смешанного класса путём применения разнообразных форм и методов работы, обеспечивающих развитие каждого ученика в соответствии с его индивидуальными возможностями [4].

Согласно исследованиям И. М. Осмоловской уровневая дифференциация является разновидностью внутренней дифференциации и предполагает такую организацию учебного процесса, при которой все учащиеся изучают единый программный материал, однако глубина и объём его усвоения, а также степень сложности учебных заданий различаются в зависимости от уровня подготовки и познавательных возможностей конкретного ученика [5].

Теоретическое обоснование уровневой дифференциации в обучении математике разработано прежде всего в трудах В. В. Фирсова. В его концепции принципиально разграничиваются понятия «уровень обязательной подготовки» и «уровень возможностей»: первый определяет тот минимум математических знаний и умений, которым должен овладеть каждый учащийся без исключения; второй отражает тот потолок, до которого способен подняться наиболее подготовленный ученик [6]. Ключевая идея В. В. Фирсова состоит в том, что предъявление учебных требований и контрольных заданий должно осуществляться дифференцированно, что позволяет каждому ученику занять свою «образовательную нишу» – достигнуть уровня обязательной подготовки и продвигаться выше в меру своих возможностей, не испытывая при этом психологического дискомфорта от сравнения с более сильными одноклассниками.

Дальнейшее развитие концепция уровневой дифференциации получила в работах В. М. Монахова и В. А. Орлова. В совместной статье «Дифференциация обучения в средней школе» авторы обосновали необходимость сочетания уровневой и профильной дифференциации, описали механизмы диагностики учебных достижений и предложили систему «диагностических минимумов», позволяющих своевременно выявлять учащихся, не достигших уровня обязательной подготовки [7].

И. М. Осмоловская, развивая идеи уровневой дифференциации применительно к современной общеобразовательной школе, подчёркивает, что дифференциация не является самоцелью, а служит средством достижения главной педагогической цели – максимального развития каждого ученика [8]. Она указывает на необходимость создания в классе психологически комфортной атмосферы, при которой отнесение к той или иной уровневой группе воспринималось бы не как «приговор», а как временное состояние, способное изменяться по мере продвижения учащегося.

Г. К. Селевко в фундаментальном труде «Современные образовательные технологии» систематизировал различные подходы к дифференциации, включая уровневую, и охарактеризовал её как одну из базовых технологий обучения, обеспечивающую реализацию принципа индивидуализации в массовой школе [9].

Опираясь на труды В. П. Беспалько, в теории поэтапного усвоения знаний принято выделять четыре уровня усвоения: узнавание, воспроизведение, применение, творчество [10]. Применительно к практике школьного обучения математике эта схема трансформируется в трёхуровневую модель, получившую широкое распространение в методической литературе. Уровень А (базовый) соответствует государственному образовательному стандарту: ученик знает основные формулы, умеет воспроизвести их по образцу и применить к решению стандартных задач в знакомой ситуации. Уровень B (конструктивный, или продвинутый) предполагает более глубокое понимание материала, умение применять знания в несколько изменённых условиях, комбинировать несколько приёмов решения и объяснять ход своих рассуждений. Уровень C (творческий, или высокий) соответствует повышенным и олимпиадным требованиям: ученик этого уровня способен решать нестандартные задачи, самостоятельно доказывать тождества, применять формулы в составе цепочки преобразований и исследовать математические зависимости.

Блочно-модульное обучение представляет собой педагогическую технологию, объединяющую две взаимодополняющие идеи: блочную организацию учебного содержания и модульный принцип его освоения учащимися. Истоки блочного обучения восходят к работам польского дидакта Ч. Купичевича, описавшего в книге «Основы общей дидактики» систему, при которой учебный материал группируется в тематические блоки, обеспечивающие логическую завершённость каждой порции информации [11]. Модульный принцип, разработанный позднее, добавил к этой идее элемент самостоятельного управления учеником своим учебным путём внутри каждого модуля.

М. А. Чошанов в монографии «Гибкая технология проблемно-модульного обучения» определяет учебный модуль как логически завершённую единицу учебного материала, обеспеченную дидактическими материалами, целями и критериями оценки [12]. Ключевыми принципами модульного обучения, по Чошанову, являются: модульность (выделение завершённых блоков знаний), динамичность (возможность корректировки содержания модуля), действенность и оперативность знаний (ориентация на практическое применение), гибкость (адаптация к индивидуальным особенностям учащихся) и принцип сознательной перспективы (осознание учащимися целей и смысла обучения).

П. И. Третьяков и И. Б. Сенновский, разрабатывая теорию модульного обучения применительно к российской школе, подчёркивают, что модуль – это не просто тема учебной программы, а особым образом структурированная совокупность учебных элементов, каждый из которых представляет собой дидактически завершённую единицу, включающую цели, содержание, задания и инструкцию по их выполнению [13]. Именно такое понимание модуля создаёт организационную основу для встраивания уровневой дифференциации в ткань учебного процесса: каждый учебный элемент модуля может быть представлен на нескольких уровнях сложности.

Среди зарубежных исследователей дифференцированного обучения следует выделить Дж. Томлинсон, разработавшую концепцию дифференцированного обучения, в рамках которой учитель целенаправленно адаптирует содержание, процесс и продукт учебной деятельности к индивидуальным потребностям учащихся [14]. К. Тоуинсенд и Дж. Аллан в совместном исследовании показали, что систематическое применение дифференцированных заданий повышает академическую успешность учащихся с различным уровнем подготовки и снижает тревожность при выполнении контрольных работ [15]. Р. Дж. Мажаре обосновал необходимость применения многоуровневых задач на уроках математики и показал их эффективность для развития математического мышления учащихся с разным уровнем подготовки [16]. В работах Б. Крук и Дж. Симпсон показано, что модульный подход в обучении математике обеспечивает более высокие показатели качества усвоения программного материала по сравнению с традиционной линейной организацией курса [17]. Дж. Д. Бруер и С. Кауфман, опираясь на нейропедагогические данные, обосновывают необходимость уровневой дифференциации с точки зрения различий в темпе и глубине обработки математической информации учащимися [18].

Н. М. Шахмаев в обзоре практики дифференциации в средней общеобразовательной школе констатирует, что наиболее эффективной формой внутренней дифференциации является сочетание общего фронтального введения нового материала с последующей самостоятельной работой учащихся на разных уровнях сложности, что создаёт условия как для достижения обязательного минимума, так и для математического развития наиболее подготовленных учащихся [19].

Таким образом, анализ отечественной и зарубежной литературы позволяет сделать вывод о том, что уровневая дифференциация в рамках блочно-модульного обучения является теоретически обоснованным и практически эффективным подходом к организации учебного процесса по математике. Вместе с тем в методической литературе практически отсутствуют конкретные разработки, описывающие встраивание уровневой дифференциации в модульную структуру применительно к отдельным темам курса алгебры седьмого класса, что определяет актуальность настоящего исследования.

Методологическая база исследования

Теоретико-методологическую основу исследования составляют концепция уровневой дифференциации В. В. Фирсова [20], теория поэтапного усвоения знаний В. П. Беспалько [21], теория модульного обучения М. А. Чошанова [22] и П. И. Третьякова и И. Б. Сенновского [23], а также положения дидактики математики, разработанные в трудах В. А. Гусева [24].

В процессе исследования применялись следующие методы: теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме уровневой дифференциации и блочно-модульного обучения; синтез и обобщение выявленных теоретических положений; проектирование дидактической модели на основе полученных теоретических оснований; методический анализ содержания темы «Формулы сокращённого умножения» в стандартных учебниках алгебры седьмого класса основной школы.

Нормативную основу разработки составляет Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (далее – ФГОС ООО), определяющий требования к предметным и метапредметным результатам обучения математике в основной школе [25]. Предметное содержание модуля разработано на основе учебника алгебры 7 класса Ю. М. Колягина с соавторами [26].

Результаты исследования

Тема «Формулы сокращённого умножения» занимает центральное место в курсе алгебры седьмого класса. По программе, изучение данной темы следует после освоения действий с многочленами и предшествует разделу «Разложение многочленов на множители», с которым она теснейшим образом связана содержательно. Таким образом, качественное усвоение формул сокращённого умножения является необходимым условием успешного освоения последующих разделов как алгебры седьмого класса, так и всего школьного курса алгебры в целом.

Программой предусмотрено изучение формул для двух выражений: квадрата суммы и разности, разности квадратов, суммы и разности кубов, куба суммы и куба разности. Методическое значение данных формул определяется прежде всего тем, что они представляют собой тождества, применимые в обоих направлениях: слева направо (при вычислении значений произведений) и справа налево (при разложении многочленов на множители и упрощении выражений). Двустороннее применение формул особенно характерно для более высоких уровней освоения темы и служит показателем глубины математической подготовки учащегося.

С учётом традиционного планирования курса алгебры седьмого класса модуль по данной теме рассчитан примерно на 12–14 учебных часов и включает следующие учебные элементы (далее – УЭ):

-     УЭ-0 (входной контроль): диагностика уровня знаний по теме «Многочлены и действия над ними»;

-     УЭ-1–5 (практикумы):

• УЭ-1: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; геометрическая иллюстрация; доказательство формул;
• УЭ-2: разность квадратов двух выражений; применение формулы к вычислениям и преобразованиям;
• УЭ-3: куб суммы и куб разности двух выражений;
• УЭ-4: сумма и разность кубов двух выражений;
• УЭ-5: применение формул сокращённого умножения для разложения многочленов на множители (обратное применение);

-     УЭ-6 (обобщающий): систематизация формул; связи между формулами; задачи смешанного применения;

-     УЭ-7 (заключительный контроль): дифференцированная контрольная работа трёх уровней;

-     УЭ-8 (коррекционный): индивидуальные задания для ликвидации выявленных пробелов.

Общий принцип прохождения обучающимися практикумов (УЭ с 1 по 5) представлены в виде схемы уровневой дифференциации при блочно-модульном изучении (см. рис.1). Их реализация проход последовательно на трёх уровнях, каждый из которых содержит следующие элементы:

1)      изучение и отработка учебного материала уровня;

2)      самоконтроль – ученик проверяет себя сам (по ключам, эталонам, ответам);

3)      контроль – внешняя проверка (учитель, тест, зачёт);

4)      при успехе – переход на следующий уровень, при неудаче – возврат к изучению или дополнительная тренировка.

Схема работает как лестница с самопроверкой и внешним контролем на каждой ступени, слабый ученик спокойно осваивает базу (А) и может остановиться, сильный – идёт через конструктивный уровень (Б) к творческому (С). Важно учесть, что без успешного контроля нельзя перейти дальше – это исключает пробелы, а наличие самоконтроля развивает ответственность и рефлексию на любом уровне.

Рис. 1. Схема прохождения учебных элементов - практикумов

Рассмотрим конкретное наполнение трёх уровней на примере наиболее важного учебного элемента – УЭ-1 (квадрат суммы и квадрат разности).

Уровень A (базовый). Учащимся предлагается алгоритм-инструкция: «Чтобы возвести в квадрат двучлен , нужно: 1) возвести в квадрат первый член; 2) удвоить произведение первого и второго членов; 3) возвести в квадрат второй член. Результат – сумма трёх полученных слагаемых». Задания уровня A представляют собой непосредственное применение данного алгоритма.

Задание А1. Раскройте скобки по формуле квадрата суммы: а) ; б) ; в) .

Задание А2. Раскройте скобки по формуле квадрата разности: а) ; б) .

Уровень B (конструктивный). Задания предполагают применение формул в усложнённых условиях с составными выражениями в качестве a и b, а также использование формул для вычисления числовых значений.

Задание B1. Раскройте скобки, применяя соответствующую формулу: а) ; б) ; в)  (подсказка: считайте  одним выражением).

Задание B2. Вычислите, применяя формулу квадрата суммы или разности:

а)

б)

в)

Уровень C (творческий). Задания выходят за пределы стандартного применения формул и требуют нестандартного алгебраического мышления.

Задание C1. Докажите тождество, применяя формулы квадрата суммы и разности: .

Задание C2. Не проводя вычислений, определите знак следующего выражения и обоснуйте свой ответ: .

Задание C3. Упростите выражение и найдите его значение при :

.

Аналогичным образом строится система дифференцированных заданий для каждого из учебных элементов модуля. При этом сохраняется инвариантное ядро –обязательные для всех учащихся задания уровня A, тогда как задания уровней B и C являются вариативными.

Принципиально важно, что все три варианта заключительного контроля начинаются с обязательных заданий, одинаковых для всех уровней – это обеспечивает базовую сопоставимость результатов и позволяет выявить тех учащихся уровня A, которые готовы к переходу в группу B.

Приведём пример структуры дифференцированной контрольной работы по теме «Формулы сокращённого умножения».

Общая часть (обязательная для всех, 4 балла):

1. Раскройте скобки: .
2. Раскройте скобки: .
3. Запишите в виде произведения: .
4. Вычислите удобным способом: .

Часть уровня B (дополнительно к общей части, 3 балла):

1. Упростите выражение: .
2. Разложите на множители: .
3. Докажите, что выражение  при любом натуральном n является нечётным числом.

Часть уровня C (дополнительно к части B, 3 балла):

1. Упростите: .
2. Найдите все целые значения x, при которых выражение  принимает наименьшее значение, и найдите это значение.
3. Докажите тождество: .

Реализация уровневой дифференциации в рамках блочно-модульного изучения темы предполагает определённую реорганизацию урочной деятельности. На этапе введения нового материала (первые уроки модуля) учитель ведёт фронтальную работу с классом, представляя основные формулы в их геометрической и алгебраической интерпретации, разбирает ключевые примеры. Этот этап одинаков для всех уровневых групп и является необходимой основой для последующей самостоятельной работы [27].

Модульная карта является центральным инструментом блочно-модульного обучения. Для темы «Формулы сокращённого умножения» модульная карта уровня A может включать следующую целевую установку: «К концу этого учебного элемента я смогу: 1) формулировать формулу квадрата суммы и квадрата разности; 2) применять формулы к раскрытию скобок в выражениях соответствующего вида; 3) распознавать, какую формулу нужно применить». Модульная карта уровня C дополнительно содержит целевую установку: «4) доказывать тождества с использованием формул; 5) применять формулы при решении уравнений и задач с параметром».

Часть примера модульной карты уровня А:

Уровень А (базовый) — обязательный уровень подготовки

Фамилия, имя: ____________________ Класс: 7 __ Дата: __________

Цель модуля: освоить формулы сокращённого умножения на уровне, необходимом для успешного продолжения изучения алгебры. Научиться применять их к раскрытию скобок и простейшему разложению на множители.

Как работать с картой:

1. Выполняй учебные элементы (УЭ) по порядку с 0 по 7.
2. Каждое задание выполняй в тетради, номер задания подписывай.
3. После выполнения УЭ обратись к листу самоконтроля (на обратной стороне или у учителя) и проверь ответы.
4. Если задание выполнено верно – ставь «+» в колонку «Баллы». Если ошибся – разбери решение и выполни коррекционное задание.
5. Для перехода к следующему УЭ нужно набрать не менее 60% баллов от максимальных за текущий УЭ.

Шкала перевода баллов в оценку за модуль: 90–100% – «5», 75–89% – «4», 60–74% – «3», менее 60% – модуль не зачтён, требуется коррекция (УЭ-8).

УЭ-0. Входной контроль (диагностика знаний по теме «Многочлены»).

Цель: вспомнить действия с многочленами, необходимые для изучения новых формул.

Максимальный балл за УЭ-0: 4

Порог для перехода: 3 балла

Твой результат: _____ / 4

 Если набрал менее 3 баллов — обратись к учителю за индивидуальной консультацией, затем повтори задания.

УЭ-1. Квадрат суммы и квадрат разности

Цель: выучить формулы  и , научиться применять их для раскрытия скобок.

❗ ОПОРА (запиши в тетрадь и запомни):

Словами: квадрат суммы = квадрат первого + удвоенное произведение первого и второго + квадрат второго.

Алгоритм действия:

1. Определи, кто в выражении выполняет роль « », а кто — « ».
2. Возведи  в квадрат.
3. Найди удвоенное произведение  и .
4. Возведи  в квадрат.
5. Запиши сумму (или разность) этих трёх частей.

Максимальный балл за УЭ-1: 5

Порог для перехода: 3 балла

Твой результат: _____ / 5

Самопроверка: сверь ответы с эталоном (лист самоконтроля). Каждый верный ответ — 1 балл.

Эффективность предложенной модели может оцениваться по нескольким критериям: повышение доли учащихся, достигающих обязательного уровня подготовки; рост среднего балла по теме по сравнению с традиционным обучением; снижение тревожности учащихся на контрольных работах; повышение мотивации к изучению математики. Данные критерии соответствуют подходам, применяемым в современных отечественных и зарубежных исследованиях эффективности дифференцированного обучения.

Педагогический эксперимент, проведённый на третьем этапе исследования (февраль–май 2026 г.) в МОАУ «Лицей № 21» города Кирова с участием 47 учащихся двух параллельных классов, позволил получить данные, подтверждающие эффективность разработанного подхода. В экспериментальном классе качество знаний по итогам изучения темы составило 75,0% против 60,9% в контрольном классе, успеваемость – 95,8% против 86,9%. Прирост качества знаний в экспериментальном классе составил 16,7 процентных пункта.

Гипотеза исследования о том, что организация уровневой дифференциации при блочно-модульном изучении темы «Формулы сокращённого умножения» позволит повысить уровень усвоения материала, мотивацию к обучению и обеспечить индивидуальную траекторию достижения предметных результатов каждым учеником, получила подтверждение в ходе педагогического эксперимента.

Заключение

Уровневая дифференциация при блочно-модульном изучении темы «Формулы сокращённого умножения» в седьмом классе основной школы представляет собой эффективную модель организации учебного процесса, позволяющую одновременно обеспечить освоение обязательного минимума всеми учащимися и создать условия для математического развития каждого ученика в меру его возможностей и способностей.

Предложенная система включает: диагностику на входе и распределение по уровневым группам; структурированный модуль с девятью учебными элементами (УЭ-0 – УЭ-8); систему дифференцированных заданий трёх уровней (базового, конструктивного и творческого); модульные карты-маршруты; дифференцированный заключительный контроль; коррекционные задания. Каждый из этих компонентов методически обоснован и может быть адаптирован учителем математики к конкретным условиям работы с классом.

Реализация данной модели требует от учителя значительных методических усилий на этапе проектирования модуля, однако компенсируется очевидными педагогическими результатами: повышением качества математических знаний, снижением тревожности учащихся и формированием устойчивой мотивации к изучению алгебры.

Дальнейшие перспективы нашего исследования связаны с разработкой аналогичных дифференцированных модулей для других ключевых тем курса алгебры 7–9 классов, а также с проведением педагогического эксперимента по проверке эффективности предложенной модели и изучением долгосрочных эффектов применения уровневой дифференциации на итоговые результаты основного государственного экзамена по математике.