Full text
Введение Указом Президента Российской Федерации от 7 мая 2024 г. №309 «О нацио-нальных целях развития Российской Федерации на период до 2030 года и на пер-спективу до 2036 года» [1] определены национальные цели развития нашей страны: технологическое лидерство, профессиональное и личностное развитие молодежи, достижение «цифровой зрелости» в сфере образования, формирование современ-ной системы профессионального развития педагогических работников. Достижение поставленных целей требует новых подходов к преподаванию математики и инфор-матики, подготовки учителей к новым условиям. В Федеральной рабочей программе (далее ФРП) для 5–9 классов [2] сформу-лированы метапредметные результаты освоения математики на уровне основного общего образования, среди которых выделены знания, умения и навыки работы с информацией: «выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для решения задачи; выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления; выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями». Выпускник 9 класса должен по-нимать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), уметь определять значение функции по значению аргумента, строить графики эле-ментарных функций, описывать свойства функции по ее графику. Согласно ФРП для 10-11 классов [3] выпускник 11 класса общеобразователь-ной школы (или колледжа среднего профессионального образования) должен вла-деть навыками построения графиков и исследования показательной, логарифмиче-ской и тригонометрической функций, использовать их для решения систем уравне-ний и неравенств, применять их при решении прикладных задач из других учебных дисциплин. При этом ФРП по информатике на уровне основного общего образования [4] ограничивает изучение электронных таблиц темами: вычисления в электронных таблицах, сортировка, поиск и построение диаграмм (гистограмма, круговая диа-грамма, точечная диаграмма). Учащиеся 11 класса общеобразовательной школы, согласно ФРП среднего общего образования по информатике [5], используют таб-личные процессоры уже для интеллектуального анализа данных, вычисления сум-мы, среднего арифметического, наибольшего и наименьшего значений диапазона, определения коэффициента корреляции двух статистических рядов и подбора ли-нии тренда (прогнозирования). Таким образом, широкие возможности современных электронных таблиц не ис-пользуются как доступное и наглядное образовательное средство для исследования функций, решения уравнений и других математических задач. По мнению А.А. Сот-ник [6] средства наглядности должны применяться на каждом этапе процесса обуче-ния: при объяснении нового материала, формировании умений и навыков, закреп-лении знаний, выполнении домашней работы, в качестве проверки усвоения учебного материала. В связи с масштабным переходом образовательных учреждений на российские операционные системы «Альт Образование» и «МОС12» табличный процессор Microsoft Excel заменен на аналогичные: Р7-Офис Профессиональный, МойОфис Стандартный, LibreOffice, что закреплено законодательством на федеральном и региональном уровнях, например, приказом Министерства образования Владимирской области от 20.11.2025 года № 1446 [7]. В представленной статье предлагается интегрировать занятия по математике, посвященные вычислениям и графическим интерпретациям функций, и компьютер-ный практикум с применением электронных таблиц LibreOffice Calc. Обзор отечественной и зарубежной литературы Преподаватель И.В. Попова [8] из Военно-воздушной академии имени профес-сора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина наглядно показала, как развитие автоматиза-ции и цифровизации сделало возможным применение информационных технологий во всех сферах общества, что привело к цифровой трансформации процессов и изменению методов управления, в том числе и в педагогике. Более четверти века электронные таблицы широко применяются в учебном процессе на всех уровнях образования от основного общего до аспирантуры. В начале XXI века в средней школе табличный процессор Microsoft Excel использовал-ся в основном для автоматизации текущего контроля усвоения школьниками учебного материала. Например, в Московском государственном областном гуманитарном институте Н.Б. Ерастова [9] использовала средства процессора для тестирования учащихся: выполнения контрольных заданий (решение вычислительных задач, разгадывание кроссвордов, выбор правильного ответа из списка, вставка пропущенных букв и знаков препинания и т.п.) и автоматизированной проверки результатов их выполнения. От преподавателя требовались следующие знания и умения: 1) подбор вопросов, формирование эталонов ответов, определение методов сравнения ответов с эталонами; 2) разработка бланка (формы) теста; 3) определение методов вычисления оценки и разработка программы формирования итогов теста. Преподаватель Пензенского государственного технологического университета И.В. Есаулова [10] сделала вывод о том, что «использование приложения MS EXCEL как инструмента для решения прикладных математических задач повышает позна-вательную активность студентов, формирует положительную мотивацию к изучению математических дисциплин, способствует развитию у студентов алгоритмического мышления, освобождает студентов от проведения громоздких, рутинных вычисле-ний, позволяет сосредоточиться на изучаемом материале». В исследовании И.А. Вятченниковой, А.С. Кайгородовой, В.Ю. Бодрякова и И.Н. Семеновой [11] приведена иллюстрация обоснованного включения табличного процессора в процесс организации деятельности обучающихся по решению задач, развивающих комбинаторно-логическое мышление. Результаты изучения предметной области «Математика и информатика» должны отражать: развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; развитие умений применять изученные понятия и методы для решения задач с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера; формирование умений формализации и структурирования информации; умения выбирать способ представления данных в соответствии с поставленной задачей (таблица, схема, график, диаграмма) с использованием соответствующих программных средств обработки данных. Наибольшую популярность электронные таблицы приобрели в учреждениях высшего и среднего профессионального образования при подготовке студентов эко-номических специальностей. Например, в Сибирском институте финансов и банков-ского дела с целью обеспечения дисциплины «Информатика» составлены методи-ческие указания по теме «Построение графиков функций и решение систем уравне-ний в приложении MS Excel 2000» [12], которые могут быть использованы препода-вателями при планировании аудиторных занятий, домашней работы, проведении текущего и итогового контроля. В статье Т. Табарова [13] продемонстрированы методы обучения построению диаграмм в средних общеобразовательных заведениях. Автор описывает преиму-щества совместного изучения при этом таких предметов, как математика, геометрия, география, информатика, логика, управление и менеджмент. Опыт компьютерного моделирования на уроках физики с использованием элек-тронных таблиц изложен Р.Н. Асылбаевым, Т.А. Боднарчуком и А.Н. Дахиным [14] на примере решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту. Ими представлено руководство по использованию электронных таблиц для формирова-ния математической модели физического процесса и моделирования движения тела с течением времени. Авторы подчеркивают преимущества использования компьютерного моделирования в физике, такие как наглядность, интерактивность обучения, «возможность проведения более точных расчетов и симуляций, а также подготовка учащихся к будущей карьере в области науки и техники». Обучающемуся становится легче понять физические процессы, которые описаны в виде систем уравнений. Преподаватель А.Н. Крюков [15] из Рязанского государственного радиотехниче-ского университета им. В.Ф. Уткина составил для студентов специальностей «Радио-техника» и «Радиоэлектронные системы и комплексы» методические указания по построению графиков в табличном процессоре LibreOffice Calc. Обучающиеся фик-сируют результаты экспериментов в электронных таблицах, обрабатывают их с по-мощью встроенных математических функций и строят диаграммы и графики, кото-рые облегчают выводы и поиск погрешностей эксперимента. Доценты Санкт-Петербургского государственного университета информацион-ных технологий, механики и оптики И.А. Хахаев и В.Ф. Кучинский [16] опубликовали учебное пособие для студентов, обучающихся по специальностям направления под-готовки «Таможенное дело». В работе продемонстрированы возможности интегра-ции графических обьектов в текстовые документы процессора LibreOffice. Доцент О.В. Козлова и студент Д.О. Аршинский [17] из Комсомольского-на-Амуре государственного университета дополнили обычное построение графика функции в табличном процессоре возможностью математического моделирования поведения касательной и нормали к этому графику, что «позволяет наглядно иссле-довать поведение и свойства функции, ее физический и геометрический смысл». Авторы отметили, что прикладные математические задачи часто требуют вычисления производной первого порядка и ее геометрическую интерпретацию. При этом важно не только построить статическую модель, но и рассчитать динамику ее поведения. В статье Ж. Мамырова, А.Б. Байзакова и М.С. Курбанкуловой [18] описано, как средствами электронных таблиц студенты учатся решать системы линейных алгеб-раических уравнений: выполняют операции с матрицами, находят определитель, вычисляют обратную матрицу. Приобретают навыки пользования встроенными функциями, например, МОПРЕД, МОБР, МУМНОЖ и др. Старший преподаватель кафедры «Программная инженерия и инновационные технологии» КНУ им. Ж. Баласагына К.М. Мырзакулова [19] описала технологию по-строения графика окружности с помощью программирования уравнения x2+y2=r2. В ячейках электронной таблицы записываются значения х из области определения и вычисляются значения функции y=± √(r2-x2). Учитель информатики и информационных технологий академического лицея МВД Республики Узбекистан С.М. Бердиева и старший преподаватель Бухарского государственного университета Ш.М. Имомова [20] продемонстрировали возможно-сти Excel по вычислению и построению графика арифметической прогрессии. В ка-честве примера рассмотрена функция y = x sin2 (π x). Преподаватель Арзамасского политехнического института (филиала) ФГБОУ ВО «НГТУ им. Р.Е. Алексеева» Т.А. Титова [21] разработала электронный лабора-торный практикум для студентов бакалавриата кафедры «Прикладная математика». На базе табличного процессора создано современное электронное средство обуче-ния (ЭСО), для чего были реализованы следующие этапы: 1) разработан теоретиче-ский блок, в котором подробно рассматриваются решения прикладных математиче-ских задач и использующиеся функции программного обеспечения; 2) составлены лабораторные работы по каждой из тем; 3) подготовлен итоговый тест с авторизаци-ей и случайной выборкой вопросов из базы данных. Апробация ЭСО выявила такие преимущества перед «бумажными» вычислениями: снижение затрат на приобрете-ние материалов; размещение гораздо большего объема информации; удобный по-иск и использование; легкий способ получения знаний; унификация учебных пособий вуза. Изучен зарубежный опыт. Ученые П.Н.Х. Нгу, Н.Д. Нам, Л.М. Куонг и Т.Т.П. Тао [22] методом библиометрического анализа исследовали научные публикации из ба-зы данных Scopus за период с 1980 по 2023 годы и сделали вывод о том, что за по-следние пять лет резко выросло количество опубликованных работ, посвященных преподаванию математики в высших учебных заведениях с помощью программных средств компьютерного моделирования. Лидерами в разработке инновационных ме-тодов преподавания математического моделирования с применением информаци-онных технологий стали США и КНР. Нет сомнений, что аналогичные теоретические и научно-практические исследования актуальны и для России. Преподаватели Университета Клемсона (США) Д. Уэзерс и С.Д. Суэйн [23] ис-пользовали табличный процессор Microsoft Excel в процессе исследования приклад-ных задач по математике в маркетинге: ценообразование, разработка продукта, ре-клама и социальные сети. Упражнения были построены по принципу «строительных лесов», освоенный навык работы с электронной таблицей на одном занятии стано-вился шагом к изучению нового метода работы на следующем занятии. Таким обра-зом, повышая свой профессионализм работы за компьютером, студент приобретал способность к решению более сложных вычислительных задач. Такие новые подходы в обучении математике требуют соответствующей подго-товки педагогов. Эта проблема рассмотрена в статье Ф. Диллинга, И. Витцке, К. Хернбергера [24] из Зигенского университета (Германия). В ней предлагается трех-уровневая методика повышения квалификации преподавателя с привлечением наставника («помощника по цифровизации»). На первом уровне до начала нового курса наставник предоставляет информацию об использовании новых технологий в конкретной предметной области, разрабатывает элементы цифровых уроков, обуча-ет средствам технической поддержки преподавателей и студентов во время занятий. На втором уровне педагог уже самостоятельно готовит и проводит урок, используя цифровые технологии, пользуясь дистанционной поддержкой со стороны наставника. На третьем уровне поддержка со стороны помощника постепенно сокращается. Профессор Бэбсон-колледжа (США) В.Л. Криттенден [25] при обучении работе в Excel обратила внимание, что «не совсем понятно, как преподавателям следует улучшать не только навыки студентов в выполнении таких задач, но и их собствен-ные навыки преподавания». Она предложила студентам заполнить анкеты: 1) для оценки их удовлетворенности различными аспектами курса; 2) для определения их субъективной оценки степени усвоения материала; 3) для оценки уровня комфорта при организации учебного процесса. Х. Чавус и С.Дениз [26] из университета в городе Ван (Турция) исследовали влияние на результативность преподавания алгебры и геометрии таких средств, как интерактивная доска, калькулятор, компьютер, программное обеспечение и веб-поддержка. Самый высокий вклад в повышение академической успеваемости вносит программное обеспечение: 56% для алгебры и 80% для геометрии. Общий вывод ученых следующий: «методы, которые в большей степени повышают успеваемость учащихся, - это компьютерные приложения и программное обеспечение». Обобщая изложенное, можно сделать вывод о том, что современный урок ал-гебры должен объединить классическую теоретическую базу этого предмета и ши-рокие возможности информационных технологий, основанных на применении таб-личных процессоров. Материалы и методы Цель исследования ‒ разработать методику составления компьютерного прак-тикума, который должен стать неотъемлемой частью современного урока алгебры, необходимой для повышения качества и скорости освоения разделов дисциплины, посвященных исследованию функций, решению уравнений и неравенств. Для ее достижения автором применены методы сбора, анализа и обобщения литературы: ‒ документация отечественных операционных систем; ‒ учебные пособия по применению российских и свободно-распространяемых электронных таблиц; ‒ федеральные государственные образовательные стандарты; ‒ рабочие программы основного общего, среднего общего и среднего профес-сионального образования; ‒ учебники по математике и информатике; ‒ пособия по преподаванию, проведению теоретических и практических занятий. Выполнена фильтрация тем программ по математике, содержащих вычисления и графические интерпретации функций. Затем произведена их группировка по годам обучения. В таблице 1 представлена полученная выборка элементов программы по математике на уровне основного общего образования. Аналогично были составлены таблицы для более высоких уровней. Педагогический эксперимент проводился в естественных условиях без нарушения учебно-воспитательного процесса. В первой группе учащихся освоение выбранных тем выполнялось без дополнительных занятий на компьютере, во второй группе – с закреплением материала с помощью электронных таблиц. Используя рекомендации О.В. Блейхер, В.И. Снегуровой, А.С. Рвановой [27], преподавание проводилось по календарно-тематическим планам учебного заведе-ния по «линейной модели сценарной организации, соответствующей классическим дидактическим подходам, предполагающим поступательное движение от простого к сложному. Такой подход обеспечивал упорядоченное изложение материала, но су-щественно ограничивал возможности адаптации под индивидуальные потребности обучающихся». Дополнительные часы для работы на компьютере были взяты из фонда дисциплины «Практикум по математике». По итогам обучения выполнено тестирование знаний, результаты которого должны были подтвердить или опровергнуть вывод об эффективности использова-ния предлагаемого автором метода. В «Результатах исследования» показаны подходы к решению задач из следу-ющих учебников: №270, 271 - по алгебре за 7-й класс [28], №705а - по алгебре за 8-й класс [29], №11.8а - по алгебре и началу математического анализа за 10 класс [30]. Результаты исследования Результатом исследования является разработанный автором новый подход к изучению математических функций, решению уравнений, неравенств и их систем, основанный на интеграции традиционных занятий по математике и компьютерного практикума, составленного с применением свободно-распространяемого программ-ного обеспечения LibreOffice Calc. Учащиеся сначала знакомятся с темами, решают задачи из учебника, а затем закрепляют полученные знания на компьютере. Приведем примеры практических занятий. Ученики 7 класса на уроках алгебры познакомились с темами «Вычисление значений функции по формуле» и «График функции», после чего им предлагается выполнить упражнение №270 (см. рис.1) с помощью электронной таблицы. Автор предлагает следующий алгоритм выполнения задания: 1) в строке 1 вводятся значения аргумента в указанном диапазоне с помощью автоматического заполнения ячеек (чем меньше рутинных операций, тем выше мотивация учеников); 2) в ячейку В2 вводится формула «=В1*В1-9» для вычисления значения функ-ции и выполняется автоматическое тиражирование этой формулы в осталь-ные ячейки указанного диапазона (от С2 до М2); 3) выравниваются ширины столбцов, добавляется обрамление ячеек; 4) выделяются цветом ячейки, соответствующие точкам пересечения графика с осью Х: (-3;0), (3;0); 5) с помощью сервиса «Вставить диаграмму» создается график. Параметры графического объекта: тип диаграммы «ХУ разброс. Только линии», диапа-зон данных «Ряды данных в строках», элементы диаграммы: «Отображать сетки. Ось Х», «Показывать легенду справа». Результат выполнения упражнения №270 изображен на рис.2. При выполнении упражнения №271 (см. рис.1) учащиеся знакомятся с вводом диапазона десятичных дробей с шагом 0,5. Результаты вычисления также представ-ляют собой десятичные дроби (см. рис.3). Ученики 8 класса после знакомства с темами «Алгебраический способ решения системы уравнений» и «Графический способ решения системы уравнений» выпол-няют упражнение №705а (см. рис.4) с помощью электронной таблицы. Автор предлагает следующий алгоритм выполнения задания: 1) в строке 1 вводятся значения аргумента в диапазоне от -10 до 11 включи-тельно; 2) оба уравнения приводятся к виду y = f(x): y = 8-x и y = -20/x; 3) в строке 2 вводятся формулы для вычисления первой функции; 4) в строке 3 вводятся формулы для вычисления второй функции; 5) выравниваются ширины столбцов, добавляется обрамление ячеек; 6) выделяются красным цветом ячейки, соответствующие точке, исключенной из области определения второй функции (деление на нуль); 7) выделяются зеленым цветом ячейки, соответствующие точкам решения си-стемы уравнений (-2;10) и (10;-2); 8) с помощью сервиса «Вставить диаграмму» создаются графики в двух допу-стимых диапазонах. Результат выполнения упражнения №705а изображен на рис.5. Математическое обеспечение LibreOffice Calc содержит программную реализа-цию функций, изучаемых в рамках основного общего, среднего общего и среднего профессионального образования, например: КОРЕНЬ – вычисление квадратного корня; СТЕПЕНЬ – возведение числа в степень; COS – вычисление косинуса числа; SIN – вычисление синуса числа; TAN – вычисление тангенса числа; EXP – экспоненциальная функция; LOG – логарифмическая функция. С помощью тригонометрической функции SIN ученики 10 класса после знаком-ства с темой «Простейшие тригонометрические уравнения» выполняют упражнение №11.8а (см. рис.6), применяя электронную таблицу. Автор предлагает следующий алгоритм выполнения задания: 1) в строке 1 вводятся значения аргумента в радианах в диапазоне от 0 до 2π включительно; 2) в строке 2 вводятся формулы пересчета радиан в числовые значения с по-мощью функции ПИ; 3) в строке 3 вводятся формулы для вычисления функции y=sin(x); 4) в строке 4 вводятся формулы для вычисления заданной функции y=sin(x) (sin(x)+1); 5) выравниваются ширины столбцов, добавляется обрамление ячеек; 6) выделяются зеленым цветом ячейки, соответствующие точкам решения уравнения; 7) с помощью сервиса «Вставить диаграмму» создаются графики. Однако, по таблице вычислений можно найти только один корень уравнения (см. рис. 7). Это связано с погрешностью вычисления чисел с плавающей запятой в функции SIN в LibreOffice Calc. Применим в пунктах 3 и 4 функцию округления ОКРУГЛ до четвертого знака по-сле запятой. В результате выполнения упражнения №11.8а (см. рис.8) на участке от 0 до 2π найдены 4 корня: 0; π; 3/2 π; 2π. Педагогический эксперимент проводился в 2024 и 2025 годах в ГБПОУ г. Моск-вы «Академия джаза» с учениками 7-9 классов в процессе изучения дисциплины «Алгебра» и студентами первых курсов при изучении «Математики и информатики». В группе №1 исследования функций и решения уравнений выполнялись без закрепления материала на компьютере, в группе №2 (см. рис. 9) данный материал преподавался с применением практикума на LibreOffice Calc. Сравнение числовых характеристик качества освоения образовательной про-граммы показал увеличение доли оценок «отлично» более чем в два раза (см. рис. 10). Таким образом, по мнению автора, разработанная методика доказала свою эф-фективность. Заключение Современные подходы к реализации федеральных государственных образова-тельных стандартов не достигли еще высокого уровня цифровизации. Применение табличного процессора в качестве электронного образовательного средства повы-сит качество обучения математике и естественно-научным предметам. Интеграция электронных таблиц в процесс преподавания алгебры, по убежде-нию автора, должна носить не разовый, а системный характер. На всех ступенях обучения можно сгруппировать фундаментальные и прикладные задачи, которые требуют вычислений и графических интерпретаций функций. Внедрение предложенного компьютерного практикума позволит в более доступной и наглядной форме разбирать их решения. Таким образом, рабочие программы по математике обеспечат более высокие показатели успеваемости при адаптации их к совместному использованию с информационными образовательными технологиями. Осуществление представленной методики соответствует национальным целям развития образования. Она может быть использована при формировании новой си-стемы профессионального развития педагогических работников. Эксперимент показал, что кроме определенных в образовательных стандартах показателей качества изучения математики были достигнуты следующие: повыше-ние интереса обучающихся к предметам «Алгебра», «Информатика», закрепление знаний по математике, развитие творческого потенциала и способности личности к научно-исследовательской деятельности.